From 38566f289a844402653ea6a79a54bddeb57ef19f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Orangerot <purple@orangerot.dev>
Date: Thu, 16 May 2024 19:21:41 +0200
Subject: Initial commit

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 sheet.tex | 406 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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new file mode 100644
index 0000000..412ff23
--- /dev/null
+++ b/sheet.tex
@@ -0,0 +1,406 @@
+\documentclass[11pt, a4paper, twoside]{article}
+\usepackage[
+    a4paper,
+    headsep=5mm,
+    footskip=0mm,
+    top=12mm,
+    left=10mm,
+    right=10mm,
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+]{geometry}
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+\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning, graphs, graphdrawing}
+\usegdlibrary {trees} 
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+\hypersetup{
+    colorlinks=true,
+    linkcolor=blue,
+    filecolor=magenta,      
+    urlcolor=cyan,
+    pdftitle={Overleaf Example},
+    pdfpagemode=FullScreen,
+    }
+
+\setlength{\algomargin}{0pt}
+
+\begin{document}
+\pagestyle{fancy}
+\fancyhead{}
+\fancyhead[L]{Numerische Mathematik für die Fachrichtungen Informatik}
+\fancyhead[R]{Gero Beckmann - \url{https://github.com/Geronymos/}}
+\fancyfoot{}
+\fancyfoot[R]{\thepage}
+\newenvironment{definition}[1]{\noindent\textbf{#1:}}{}
+\section{Computergenauigkeit}
+
+\[
+  FL = \{ +- B^e \Sigma_{l=1}^{l_m} a_l B^{-l} : e = e_{min} +
+  \Sigma_{l=0}^{L_e-1} c_l B^l, a_l, c_l \in \{0, ..., B-1 \}, a \neq 0 \} \cup
+  \{ 0 \} \subset \mathbb{Q} \\
+\]
+
+\begin{multicols}{2}
+\section{Normen und Kondition}
+
+\begin{align*}
+  \|A\|_1 &= \max_{n=0,...,N} \Sigma_{m=0}^{N} |a_{mn}| & \text{Spaltennorm} \\
+  \|A\|_2 &= \sqrt {\max \lambda \text{ von } A^T A} & \text{Spektralnorm} \\
+  \|A\|_\infty &= \max_{m=0,...,N} \Sigma_{n=0}^{N} |a_{mn}| & \text{Zeilennorm} \\
+\end{align*}
+
+\subsection{Kondition}
+
+\begin{align*}
+  \kappa(A) &= \|A\|\|A^{-1}\| \\
+  \kappa(A) &= \frac{\max_{\|y\|=1} \|A_y\|}{\min_{\|z\|=1} \|Az\|} \\
+  \kappa_2(A^TA) &= \kappa_2(A)^2 = \sqrt{\frac{\max \lambda \text{ von } A^TA}{\min \lambda}}
+\end{align*}
+\end{multicols}
+
+\begin{multicols}{2}
+\section{Cholesky-Zerlegung}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Berechne $A=LL^T$
+  \item Löse durch Vorwärtssubstitution $Ly = b$
+  \item Löse durch rückwärtssubstitution $L^T = y$
+\end{enumerate}
+
+\begin{align*}
+  Ax &= b \\
+  A &= \begin{pmatrix}
+  l_{11} & & \\
+  l_{21} & l_{22} & \\
+  l_{31} & l_{32} & l_{33}
+\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
+  l_{11} & l_{21} & l_{31} \\
+         & l_{22} & l_{32} \\
+         &        & l_{33}
+\end{pmatrix}
+  \end{align*}
+
+\end{multicols}
+
+\hspace{-.6cm}
+\begin{minipage}{.42\textwidth}
+\section{LR-Zerlegung}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Berechne Zerlegung $A = CR$
+  \item Löse $Ly = b$ durch Vorwaärtssubstitution
+  \item Löse $Rx =y$ durch Rückwärtssubstitution
+\end{enumerate}
+\end{minipage}
+\hspace{-2cm}
+\begin{minipage}{.6\textwidth}
+  \hspace{-10cm}
+  \begin{align*}
+  \begin{gmatrix}[p]
+  1 & 4 & -1 \\
+  3 & 0 & 5 \\
+  2 & 2 & 1
+  \rowops
+    \add[-3]{0}{1}
+    \add[-2]{0}{2}
+  \end{gmatrix} \leadsto \begin{pNiceMatrix}
+    1 & 4 & -1 \\
+    3 & -12 & 8 \\
+    2 & -6 & 3 
+    \CodeAfter
+    \tikz \draw (2-|1) -| (4-|2); 
+  \end{pNiceMatrix} \begin{gmatrix}
+    \\ \\ 
+    \rowops
+    \add[\frac{1}{-2}]{1}{2}
+  \end{gmatrix} \leadsto \begin{pNiceMatrix}
+    1 & 4 & -1 \\ 
+    3 & -12 & 8 \\ 
+    2 & \frac 1 2 & -1
+    \CodeAfter
+    \tikz \draw (2-|1) -| (3-|2) -| (4-|3); 
+  \end{pNiceMatrix} \\
+  \Rightarrow L = \begin{pmatrix}
+    1 & 0& 0 \\
+    3 & 1 & 0 \\ 
+    2 & \frac 1 2 & 1
+  \end{pmatrix}, R = \begin{pmatrix}
+    1 & 4 & -1 \\
+    0 & -12 & 8 \\
+    0 & 0 & -1
+  \end{pmatrix}
+\end{align*}
+\end{minipage}
+
+\subsection{Mit Pivotwahl / Permutationsmatrix $PA = LR$}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Berechne Zerlegung $PA = LR$ durch Gauß-Elimitation
+  \item Löse $Ly = Pb$ durch Vorwärtssubstition
+  \item Löse $Rx = y$ durch Rückwärtssubstitution
+\end{enumerate}
+\def\rowswapfromlabel#1{#1}
+\def\rowswaptolabel#1{#1}
+\def\colswapfromlabel#1{#1}
+\def\colswaptolabel#1{#1}
+\begin{align*}
+  \begin{pmatrix}
+    1 \\ 2 \\ 3
+  \end{pmatrix}
+  \begin{gmatrix}[p]
+    1 & 2 & 2 \\
+    -2 & -2 & 4 \\
+    2 & 4 & 2
+    \rowops
+    \swap[|-2| > |1|][]01
+  \end{gmatrix} \leadsto
+  \begin{pmatrix}
+    2 \\ 1 \\ 3
+  \end{pmatrix}
+  \begin{gmatrix}[p]
+    -2 & -2 & 4 \\
+    1 & 2 & 2 \\
+    2 & 4 & 2 
+    \rowops
+    \add[\frac 1 2 ]01
+    \add[1]02
+  \end{gmatrix} \leadsto
+  \begin{pmatrix}
+    2 \\ 1 \\ 3
+  \end{pmatrix}
+  \begin{pNiceMatrix}
+    -2 & -2 & 4 \\
+    -\frac 1 2 & 1 & 4 \\
+    -1 & 2 & 6
+    \CodeAfter
+    \tikz \draw (2-|1) -| (4-|2);
+  \end{pNiceMatrix}
+  \begin{gmatrix}
+    \\ \\ 
+    \rowops
+    \swap[|2| > |1|]12
+  \end{gmatrix} \\ \leadsto
+  \begin{pmatrix}
+    2 \\ 3 \\ 1
+  \end{pmatrix}
+  \begin{pNiceMatrix}
+    -2 & -2 & 4 \\
+    -1 & 2 & 6 \\
+    -\frac 1 2 & 1 & 4
+    \CodeAfter
+    \tikz \draw (2-|1) -| (4-|2);
+  \end{pNiceMatrix}
+  \begin{gmatrix}
+    \\ \\ 
+    \rowops
+    \add[-\frac 1 2]12
+  \end{gmatrix} \leadsto
+  \begin{pmatrix}
+    2 \\ 3 \\ 1
+  \end{pmatrix}
+  \begin{pNiceMatrix}
+    -2 & -2 & 4 \\
+    -1 & 2 & 6 \\
+    -\frac 1 2 & \frac 1 2 & 1
+    \CodeAfter
+    \tikz \draw (2-|1) -| (3-|2) -| (4-|3);
+  \end{pNiceMatrix} \Rightarrow
+  L = \begin{pmatrix}
+    1 & 0 & 0 \\
+    -1 & 1 & 0 \\
+    -\frac12 & \frac12 &1
+    \end{pmatrix}, 
+    R = \begin{pmatrix}
+      -2 & -2 & 4 \\ 
+      0 & 2 & 6 \\ 
+      0 & 0 & 1 
+      \end{pmatrix},
+      P = \begin{pmatrix}
+        0 & 1 & 0 \\ 
+        0 & 0 & 1 \\ 
+        1 & 0 & 0
+      \end{pmatrix}
+\end{align*}
+
+Für Eliminierung in Spalte n werden Zeilen so getauscht, dass in der n-ten
+Spaten ab dre n-ten Zeile, sodass das Betraglich größte Element in Zeile n
+steht. 
+
+\newpage
+
+\begin{multicols}{2}
+
+\section{QR-Zerlegung $A = QR$}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Bestimme Matrizen Q und R durch Householder-Transformationen
+  \item Löse $Qx = b$ ($Q^{-1} = Q^T$, also $c = Q^Tb$)
+  \item Löse $Rx = c$ durch Rückwärtssubstitution
+\end{enumerate}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Bestimme Teilmatrix $A'^{(j-1)}$
+  \item Berechne $v^{(j)} = {a'}_{I}^{(j-1)} + sign({a'}_{II}^{(j-1)}) \cdot \| {a'}_I^{(j-1)} \| e_I$
+  \item Berechne $H'^{(j-1)} = I - \frac {2v^{(j)}v^{(j)T}} {v^{(j)T}v^{(j)}}$
+  \item Bestime $H^{(j)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & H'^{(j-1)}\end{pmatrix}$
+    \item Berechne $A^{(j)} = H^{(j)}A^{(j-1)}$ bis $A^{(j)} = R$
+\end{enumerate}
+
+\begin{align*}
+  j = 1 \rightarrow j = k = min(m-1, n) \\
+  Q^T = H^{(k)} \cdot ... \cdot H^{(2)} H^{(1)}
+\end{align*}
+
+\subsection{Minimale Fehlerquote}
+
+\[
+  |y_i - f(x_i)|_2^2 = \Sigma_{i=1}^{N} (y_i - f(x_i))^2
+\]
+
+\subsection{Ausgleichssystem}
+
+Der Vektor $x \in \mathbb{R}^N$ löst genau dann $\|Ax -b \|_2 = min!$, falls er
+$A^TAx = A^Tb$ (Normalgleichung) löst. 
+
+\columnbreak
+
+\section{Singilärwertzerlegung}
+
+\begin{enumerate}
+  \item Rechne $S = A^TA$
+  \item Berechne EW und EV von S
+  \item Bilde ONB $u_1, u_2, ..., u_N$ aus EV von S
+  \item Berechne $\sigma_k = \sqrt{\lambda_k}$
+  \item $U = \begin{pNiceArray}{c|c|c} U_1 & ... & U_k \end{pNiceArray} =
+      diag(\sqrt{\lambda_1}, ..., \sqrt{\lambda_k}) = 
+      diag(\sigma_1, ..., \sigma_k) = \Sigma$
+  \item $V = A U \Sigma^{-1}$
+\end{enumerate}
+    
+\subsection{Pseudoinverse }
+$A^+ = U \Sigma^{-1} V^T$ ; ist A regulär dann gilt $A^{-1} = A^+$
+
+\subsection{Normalengleichung}
+$|Ax-b|_2=Min!$ durch $x = A^+b$ gelöst
+
+\end{multicols}
+
+\section{Hessenbergform (rechte-obere Dreiecksmatrix ab der unterren Nebendiagonale)}
+
+\subsection{Tridiagonal (Nur Haupt- und Nebendiagonale)}
+
+\begin{align*}
+  \text{TeilmatrixA }&{A'}^{(j-1)} \\
+  w^{(j)} &= {a'}_{I}^{(j-1)} + sign({a'}_{Ii}^{(j-1)}) \cdot \|{a'}_{I}^{(j-1)}\|_2 \cdot e_I \\
+  {Q'}^{(j-1)} &= I - \frac {2 w^{j} w^{(j)T}} {w^{(j)T} w^{(j)}} \\
+  Q^{(j)} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 && {Q'}^{(j-1)} \end{pmatrix} \\
+    H^{(j)} &= Q^{T(j)} A^{(j-1)} Q^{(j)}
+\end{align*}
+
+\subsection{Jacobi-Verfahren (Lösung von Ax =b) / Gesamtschrittverfahren}
+\begin{align*}
+  x_m^{k+1} &= \frac 1 {A[m;m]} (b_m - \Sigma_{n \neq m} A[m,n] x_n^k) &\text{für $m=1, ..., M$} \\
+  x^{k+1} &= x^k + D^{-1} (b - Ax^k) & A = D + (L + U) \\ 
+  & &\text{(diagonal + (strikte linke untere / rechte obere))}
+\end{align*}
+
+\subsection{Gauß-Seidel-verfahren / Einzelschrittverfahren}
+\begin{align*}
+  x_m^{k+1} &= \frac 1 {A[m;m]} (b_m - \Sigma_{n=1}^{m-1} A[m,n] x_n^{k+1} - \Sigma_{k=m+1}^{N} A[m,n] x_n^k) \\
+  x^{k+1} &= x^k + (D + L)^{-1} (b - Ax^k)
+\end{align*}
+
+\subsection{CG-Verfahren}
+\begin{align*}
+  a
+\end{align*}
+
+\subsection{GMRES}
+\begin{align*}
+  a
+\end{align*}
+
+Energienorm $\|x\|_A = \sqrt{x^TAx}$
+
+SKP $<x,y> = x^TAy$
+
+\subsection{Krylov-Raum}
+
+\section{Spline Interpolation}
+
+\begin{align*}
+  & s'(a) = v_0 \text{ und } s'(b) = v_N & \text{hermitisch} \\
+  & s''(a) = s''(b) = 0 & \text{natürlich} \\
+  & s'(a) = s'(b) \text{ und } s''(a) = s''(b) & \text{periodisch}
+\end{align*}
+
+\section{Newton-Verfahren}
+\[
+  x^{n+1} = x^n - \frac {f(x^n)} {f'(x^n)}
+\]
+
+\section{Quadraturformel}
+
+Gewichte $b_k \in [0,1]$, Knoten $c_k \in [0,1]$, Stützstelle $a + c_k (b-a)$
+
+\[
+  \int_a^b f(x)dx \approx (b - a) \Sigma_{k=1}^s b_k f(a+c_k (b-a))
+\]
+
+\begin{tabular}{llll}
+  Rechteckregel & $s=1$ & $b_1=1$ & $c_1=0$ \\
+  Mittelpunktregel & $s=1$ & $b_1=1$ & $c_1 = \frac12$ \\
+  Trapezregel & $s=2$ & $b_1 = b_2 = \frac12$ & $c_1 = 0, c_2 = 1$ \\
+  Simpsonregel & $s=3$ & $b_1 = b_3 = \frac16, b_2 = \frac46$ & $c_1 = 0, c_2 = \frac12, c_3 = 1$
+\end{tabular}
+
+Symmetrische Quadraturformel $c_k = 1 - c_{s+1-k}$, $b_k = b_{s+1-k}$
+
+Ordung $p$ $\frac1q = \Sigma_{k=1}^S b_k c_k^{q-1}$ für alle $q=1, .., p$ nicht für $q = p+1$!
+
+\section{Polynom-Interpolation}
+
+\subsection{Lagrange}
+
+\begin{align*}
+  & p(x) = \Sigma_{n=0}^N f_n L_n(x) & 
+  L_n(x) = \Pi_{j=0, j \neq n}^N \frac{x - x_j}{x_n - x_j}
+\end{align*}
+
+Lebesque-Konstante
+\[
+  \Lambda_N := \max_{x \in [a,b]} \Sigma_{n=0}^{N} |L_n(x)|
+\]
+
+\subsection{Newton-Darstellung}
+
+\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
+  $f_n$ & 1 & 6 & -3 & 3 \\
+  \hline
+  $x_n$ & -1 & 0 & 1 & 3
+\end{tabular}
+
+\[
+\begin{NiceArray}{c|cccc}
+  x_0 = -1 & f_0 = 1 & & & \\
+  x_1 = 0 &  f_1 = 6 & \frac{1-6}{-1-0} = 5 & & \\
+  x_2 = 1 & f_2 = -3 & \frac{6+3}{0-1} = -9 & \frac{5+9}{-1-1} = -7 & \\
+  x_3 = 3 & f_3 = 3 & \frac{-3-3}{1-3} = 3 & \frac{-9-3}{0-3} = 4 & \frac{-7-4}{-1-3} = \frac{11}{4}
+\end{NiceArray}
+\]
+
+\begin{align*}
+  p(x) &= 1 + 5(x-(-1)) -7(x-(-1))(x-0) + \frac{11}4 (x-(-1))(x-0)(x-1) \\
+  p(x) &= f_{0,0} + f_{0,1}(x-x_0) + ... + f_{0,N}(x-x_0) \cdot ... \cdot (x-x_{N-1})
+\end{align*}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

